\(\int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx\) [187]

Optimal result

Integrand size = 20, antiderivative size = 85 \[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=-\frac {\cos ^3(a+b x) \cot (a+b x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1-m}{2},\frac {4+m}{2},\frac {6+m}{2},\cos ^2(a+b x)\right ) \sin ^2(a+b x)^{\frac {1-m}{2}} \sin ^m(2 a+2 b x)}{b (4+m)} \]

[Out]

-cos(b*x+a)^3*cot(b*x+a)*hypergeom([2+1/2*m, 1/2-1/2*m],[3+1/2*m],cos(b*x+a)^2)*(sin(b*x+a)^2)^(1/2-1/2*m)*sin
(2*b*x+2*a)^m/b/(4+m)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.09 (sec) , antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.100, Rules used = {4394, 2656} \[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=-\frac {\cos ^3(a+b x) \cot (a+b x) \sin ^2(a+b x)^{\frac {1-m}{2}} \sin ^m(2 a+2 b x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1-m}{2},\frac {m+4}{2},\frac {m+6}{2},\cos ^2(a+b x)\right )}{b (m+4)} \]

[In]

Int[Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

-((Cos[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (4 + m)/2, (6 + m)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x
]^2)^((1 - m)/2)*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(4 + m)))

Rule 2656

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b^(2*IntPar
t[(n - 1)/2] + 1))*(b*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*((a*Cos[e + f*x])^(m + 1)/(a*f*(m + 1)*(Sin[e + f*
x]^2)^FracPart[(n - 1)/2]))*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{a
, b, e, f, m, n}, x] && SimplerQ[n, m]

Rule 4394

Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Dist[(g*Sin[c + d
*x])^p/((e*Cos[a + b*x])^p*Sin[a + b*x]^p), Int[(e*Cos[a + b*x])^(m + p)*Sin[a + b*x]^p, x], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, e, g, m, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left (\cos ^{-m}(a+b x) \sin ^{-m}(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x)\right ) \int \cos ^{3+m}(a+b x) \sin ^m(a+b x) \, dx \\ & = -\frac {\cos ^3(a+b x) \cot (a+b x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1-m}{2},\frac {4+m}{2},\frac {6+m}{2},\cos ^2(a+b x)\right ) \sin ^2(a+b x)^{\frac {1-m}{2}} \sin ^m(2 a+2 b x)}{b (4+m)} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.

Time = 13.91 (sec) , antiderivative size = 2472, normalized size of antiderivative = 29.08 \[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

(2^(1 + m)*(6*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*Appel
lF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1
+ 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Ta
n[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2])*Cos[a + b*x]^3*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a +
b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Sin[2*(a + b*x)]^m*Tan[(a + b*x)/2])/(b*(1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x
)/2]^2)^m*((2^m*(6*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*
AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -
m, 1 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/
2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(1 + 2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/
2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m)/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) + (2^(1 + m)*m*(6*AppellF1[(1 + m
)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m),
(3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*
x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b
*x)/2]^2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^(-1 + m)*(
Cos[(a + b*x)/2]*(-1/2*Cos[(a + b*x)/2] + (3*Cos[(3*(a + b*x))/2])/2) - (Sin[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] +
Sin[(3*(a + b*x))/2]))/2)*Tan[(a + b*x)/2])/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) + (2^(2 + m)*m*(6*A
ppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*AppellF1[(1 + m)/2,
-m, 2*(2 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1 + 2*m, (3 + m)/
2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^
2, -Tan[(a + b*x)/2]^2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2
]))^m*Tan[(a + b*x)/2]^2)/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) - (2^(1 + m)*m*(6*AppellF1[(1 + m)/2,
-m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m), (3 +
m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]
^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2
]^2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^(-1 - m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/
2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Tan[(a + b*x)/2]*(-(Sec[(a + b*x)/2]^2*Sin[a + b*x]) + Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x
)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + m) + (2^(1 + m)*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2]
+ Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Tan[(a + b*x)/2]*((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 1 + 2*m, 1 + (3 + m)/2
, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m) + ((1 + m)*(1 + 2*m)*A
ppellF1[1 + (1 + m)/2, -m, 2 + 2*m, 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2
*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m) - 12*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 3 + 2*m, 1 + (3 + m)/2, Tan[(a +
b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m)) - ((1 + m)*(3 + 2*m)*AppellF1[1
+ (1 + m)/2, -m, 4 + 2*m, 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a +
b*x)/2])/(3 + m)) + 6*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 2*(1 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^
2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m)) - (2*(1 + m)^2*AppellF1[1 + (1 + m)/2, -
m, 1 + 2*(1 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])
/(3 + m)) + 8*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 2*(2 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[
(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m)) - (2*(1 + m)*(2 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, -m,
1 + 2*(2 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(
3 + m))))/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m)))

Maple [F]

\[\int \cos \left (x b +a \right )^{3} \sin \left (2 x b +2 a \right )^{m}d x\]

[In]

int(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

[Out]

int(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

Fricas [F]

\[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=\int { \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \cos \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sin(2*b*x + 2*a)^m*cos(b*x + a)^3, x)

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)**3*sin(2*b*x+2*a)**m,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=\int { \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \cos \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*cos(b*x + a)^3, x)

Giac [F]

\[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=\int { \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \cos \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*cos(b*x + a)^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx=\int {\cos \left (a+b\,x\right )}^3\,{\sin \left (2\,a+2\,b\,x\right )}^m \,d x \]

[In]

int(cos(a + b*x)^3*sin(2*a + 2*b*x)^m,x)

[Out]

int(cos(a + b*x)^3*sin(2*a + 2*b*x)^m, x)